Eliezer Alcheh nace en Vidin, Bulgaria en 1908, en el seno de una familia judía sefardí. Estudia pintura en la Academia de Bellas Artes de Munich, bajo la tutela de prestigiosos profesores como Schinerer en dibujo y Caspar en pintura. Tras concluir sus estudios, vive y trabaja en Bélgica durante un año. El cuadro Amberes (1934), pintado allí, se exhibe actualmente en la Galería Nacional de Sofía, Bulgaria.
En 1934 regresa a Bulgaria donde se organiza su primera exposición individual, generando un gran impacto en el ámbito de la cultura búlgara. Se une a un grupo de jóvenes pintores búlgaros llamado Los Nuevos, grupo que deja una profunda marca en el desarrollo de la pintura búlgara. Forma parte de varias exposiciones colectivas en Praga, Múnich y Berlín (1935-1936).
En 1936 viaja a Palestina. Con las obras que allí realiza, se organiza una muestra en Belgrado, con gran éxito. Luego se muda a París, donde expone en el Salon d’Automne, Petit Palais y Tuillerie. Después de su estadía en París, se muda a Venecia. El Gran Canal y muchas otras obras expuestas en la Galería Nacional de Sofía datan de este período.
En 1938 se muda nuevamente a Bulgaria. Comienza a preparar una nueva exposición en París, pero se desata la Segunda Guerra Mundial, y casi toda actividad artística se ve interrumpida.
Alcheh es enviado a un campo de trabajos forzados en el norte de Bulgaria. Al terminar la guerra, es liberado y regresa a Sofía, donde conoce a la pintora búlgara Bronka Giurova, con quien contrae matrimonio en 1947.
Después de la guerra, y a pesar de que se reanudan las actividades artísticas, Europa del Este atraviesa un momento político muy complejo. Después de ser expulsado del Sindicato de Pintores Búlgaros por decreto de la Unión Soviética, decide dejar su país. En 1951 se muda definitivamente a Buenos Aires, Argentina, donde tenía un hermano y donde dominaba el idioma. Previamente vive un año en Milán, pintando allí y nuevamente en Venecia. Una vez establecido en Buenos Aires, realiza su primera exposición individual en la galería Bonino, en 1953. En 1956 participa del 45mo Salón Nacional de Artes Plásticas, obteniendo el tercer premio en dibujo. Expone en varios Salones Nacionales.
En 1958 comienza a enseñar dibujo y pintura en la Escuela Nacional de las Artes Manuel Belgrano, donde enseña hasta 1973.
En 1975 es invitado a Sofia por el Sindicato de Pintores Búlgaros, donde organizan una muestra con los trabajos que realiza en Argentina. La mayor parte de estas pinturas fue adquirida por la Galería Nacional de Sofía, donde se encuentran exhibidos en la actualidad.
Alcheh fallece en 1983 en Buenos Aires.
En 1990, el Museo de Arte Moderno de Buenos Aires organiza una muestra de sus obras, seguida en 2000 por otra muestra organizada pro el museo Sívori.
Su figura continúa teniendo relevancia en las artes búlgaras. En 2008, la Galería Nacional de Sofía organiza una gran retrospectiva de sus trabajos. En 2018, la Galería Municipal de Sofia organiza una exposición, tributo a la vida y obra de Eliezer Alcheh.